Comment prouver que 4 ^ n – 1 est divisible par 3 à l’aide de l’induction ?

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Comment prouver que 4^n – 1 est divisible par 3 à l’aide de l’induction ?

Introduction

La preuve par induction est une méthode mathématique couramment utilisée pour démontrer des propriétés pour tous les entiers positifs. Dans ce cas particulier, nous voulons prouver que l’expression 4^n – 1 est divisible par 3 pour tous les entiers positifs n.

Comment ?

Nous pouvons prouver cette propriété en utilisant la méthode de l’induction mathématique. La preuve par induction se compose de deux étapes principales : la base de la récurrence et l’hypothèse de récurrence.

Base de la récurrence

Dans cette étape, nous devons prouver que l’expression est vraie pour le premier entier positif, qui est généralement n = 1.

Lorsque n = 1, l’expression devient 4^1 – 1 = 4 – 1 = 3. Nous pouvons voir que 3 est bien divisible par 3, donc la base de la récurrence est vérifiée.

Hypothèse de récurrence

Dans cette étape, nous supposons que l’expression est vraie pour un entier positif k quelconque, c’est-à-dire que 4^k – 1 est divisible par 3.

Étape de récurrence

Maintenant, nous devons prouver que l’expression est également vraie pour k + 1.

Nous commençons avec l’expression 4^(k+1) – 1 et essayons de la réarranger pour qu’elle ressemble à un multiple de 3.

4^(k+1) – 1 = 4^k * 4^1 – 1 = 4^k * 4 – 1 = 4 * (4^k – 1) + 3

Nous avons donc réussi à réarranger l’expression de telle sorte qu’elle ressemble à un multiple de 3, plus 3.

Nous pouvons voir que (4^k – 1) est divisé par 3 car nous avons supposé cela dans notre hypothèse de récurrence. De plus, un multiple de 4 multiplié par 4 reste un multiple de 3. Par conséquent, 4 * (4^k – 1) est également divisible par 3. En ajoutant 3 à cela, nous obtenons une expression complète (4^(k+1) – 1) qui est divisible par 3.

Ainsi, nous avons prouvé que si 4^k – 1 est divisible par 3, alors 4^(k+1) – 1 est également divisible par 3.

Pourquoi ?

Cette preuve utilise la méthode de l’induction mathématique pour démontrer la propriété pour tous les entiers positifs à partir de la base de la récurrence. La base de la récurrence garantit que la propriété est vraie pour au moins un entier positif, tandis que l’étape de récurrence montre que si la propriété est vraie pour un entier positif k, alors elle est également vraie pour k + 1.

Donc, en utilisant cette méthode, nous pouvons conclure que l’expression 4^n – 1 est divisible par 3 pour tous les entiers positifs n.

Exemple :

Supposons que nous voulions prouver que 4^3 – 1 est divisible par 3.

Utilisant la formule que nous avons démontrée précédemment :

4^3 – 1 = 4 * (4^2 – 1) + 3

Nous savons que 4^2 – 1 = 15, car 15 est divisible par 3. En remplaçant cela dans l’expression :

4 * 15 + 3 = 63

63 est également divisible par 3, donc l’expression 4^3 – 1 est également divisible par 3.

Références :

– « How to prove that 4^n – 1 is divisible by 3 using induction. » Student Projects.
– « How to prove that 4^n – 1 is divisible by 3 using induction. »