Comment demontrer x +y ≤ xy et y+z ≤ yz –> x+z ≤ xz ?

La démonstration de l’inégalité x + y ≤ xy et y + z ≤ yz ⇒ x + z ≤ xz repose sur l’analyse des différentes possibilités de valeurs pour x, y et z. Nous allons examiner chaque cas et argumenter pour chaque situation.

Cas 1 : x > 0, y > 0 et z > 0
Dans ce cas, on peut multiplier les deux inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz par z et x respectivement, ce qui donne:
xz + yz ≤ xyz et xy + xz ≤ xyz
En additionnant ces deux inégalités, on obtient:
xz + yz + xy + xz ≤ xyz + xyz
2xz + xy + yz ≤ 2xyz
En simplifiant par 2, on obtient:
xz + xy + yz ≤ xyz
Or, on sait que xz + yz ≤ xyz (d’après l’inégalité y + z ≤ yz), donc on peut les remplacer dans l’inégalité précédente:
xy + xz + yz ≤ xz + yz
xy ≤ 0
Comme x, y et z sont tous supérieurs à 0, l’inégalité xy ≤ 0 ne peut pas être vérifiée, donc cette situation est invalide.

Cas 2 : x < 0, y > 0 et z > 0
Dans ce cas, les inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz sont invalides, car on ne peut pas toujours multiplier x par y ou y par z pour obtenir une valeur supérieure. Par conséquent, cette situation est également invalide.

Cas 3 : x > 0, y < 0 et z > 0
Dans cette situation, les inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz sont également invalides, car il n’est pas possible de multiplier x par y ou y par z pour obtenir une valeur supérieure. Par conséquent, cette situation est invalide.

Cas 4 : x > 0, y > 0 et z < 0
Dans ce cas, les inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz sont valides. En les additionnant, on obtient:
x + y + y + z ≤ xy + yz
x + 2y + z ≤ xy + yz
Puisque y, y et z sont tous inférieurs à 0, on peut dire:
x + 2y + z ≤ xy + yz + 2yz
x + 2y + z ≤ xy + 3yz
Or, on sait que xy ≤ xy + 3yz (puisque y et z sont négatifs), donc on peut les remplacer pour obtenir:
x + 2y + z ≤ xy + 3yz ≤ xy + xy + 3yz
x + 2y + z ≤ 2xy + 3yz
En réarrangeant les termes, on obtient:
x + z ≤ 2xy + yz
Finalement, on peut dire que dans ce cas, x + z ≤ 2xy + yz ≤ xz

Cas 5 : x < 0, y < 0 et z > 0
Dans cette situation, les inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz sont valides. En les additionnant, on obtient:
x + y + y + z ≤ xy + yz
x + 2y + z ≤ xy + yz
Puisque y et z sont positifs, on peut dire:
x + 2y + z ≤ xy + yz
Or, on sait que xy ≤ xy + yz (puisque y et z sont positifs), donc on peut les remplacer pour obtenir:
x + 2y + z ≤ xy + yz ≤ xy + xy + yz
x + 2y + z ≤ 2xy + yz
En réarrangeant les termes, on obtient:
x + z ≤ 2xy + yz
Finalement, on peut dire que dans ce cas, x + z ≤ 2xy + yz ≤ xz

Cas 6 : x < 0, y > 0 et z < 0
Dans cette situation, les inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz sont invalides, car il n’est pas possible de multiplier x par y ou y par z pour obtenir une valeur supérieure. Par conséquent, cette situation est invalide.

Cas 7 : x > 0, y < 0 et z < 0
Dans cette situation, les inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz sont invalides, car il n’est pas possible de multiplier x par y ou y par z pour obtenir une valeur supérieure. Par conséquent, cette situation est invalide.

Cas 8 : x < 0, y < 0 et z < 0
Dans cette situation, les inégalités x + y ≤ xy et y + z ≤ yz sont invalides, car il n’est pas possible de multiplier x par y ou y par z pour obtenir une valeur supérieure. Par conséquent, cette situation est invalide.

En résumé, les seuls cas valides pour démontrer l’inégalité x + y ≤ xy et y + z ≤ yz ⇒ x + z ≤ xz sont le cas 4 (x > 0, y > 0 et z < 0) et le cas 5 (x < 0, y < 0 et z > 0).

Il convient de noter que les sources web actualisées de cette année ou de l’année précédente sur ce sujet sont rares et difficiles à trouver. Cependant, les mathématiques sont un domaine où les principes et les démonstrations restent valables et inchangés depuis de nombreuses années. Les principes utilisés dans notre démonstration sont bien établis et continuent d’être valides aujourd’hui.

Références:
– Aucune source consultée, car les résultats de recherche web ne sont pas pertinents pour ce sujet spécifique de démonstration mathématique.
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