Comment déterminer le déterminant d’une matrice 3×3 ?

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Comment déterminer le déterminant d’une matrice 3×3 ?

Introduction

Le déterminant est une valeur numérique qui peut être calculée à partir des éléments internes d’une matrice carrée. Il est utilisé en mathématiques pour résoudre des systèmes d’équations linéaires, pour trouver les inverses de matrices, pour calculer des aires et des volumes, etc.

Méthodes pour calculer le déterminant d’une matrice 3×3

Méthode de Sarrus

La méthode de Sarrus est une méthode simple pour calculer le déterminant d’une matrice 3×3. Pour calculer le déterminant D d’une matrice 3×3 A, il faut :

– écrire la matrice A en répétant sa première et sa deuxième colonne à droite ;
– multiplier les éléments de chaque diagonale des trois matrices obtenues ;
– calculer la somme des trois produits obtenus en multipliant chacune des trois diagonales ;
– soustraire la somme des diagonales de droite à gauche de la somme précédente.

Exemple :

Soit la matrice 3×3 A suivante :

A = [[ 1, 2, -1],
[ 3, 0, 5],
[-2, 1, 4]]

On applique la méthode de Sarrus :

D = (1 x 0 x 4) + (3 x 1 x -1) + (-2 x 2 x 5) – ((-1) x 0 x 3) – (1 x 2 x 1) – (4 x 5 x 1)

D = 0 – 5 – 20 + 0 – 2 – 20

D = -47

Ainsi, le déterminant de la matrice A est égal à -47.

Méthode du développement par rapport à une ligne ou à une colonne

La méthode du développement par rapport à une ligne ou à une colonne est une méthode plus générale pour calculer le déterminant d’une matrice carrée de n’importe quelle taille. Cette méthode implique la décomposition de la matrice en sous-matrices plus petites en utilisant la règle de Laplace.

Pour calculer le déterminant D d’une matrice 3×3 A en utilisant cette méthode, il faut :

– choisir une ligne ou une colonne de la matrice A ;
– calculer le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant cette ligne ou cette colonne ;
– multiplier chaque élément de la ligne ou de la colonne choisie par le déterminant de la sous-matrice correspondante, en alternant les signes ;
– additionner les produits obtenus pour obtenir le déterminant D.

Exemple :

On reprend la matrice A utilisée dans l’exemple précédent.

Supposons que l’on choisisse la première ligne de la matrice A pour effectuer le développement :

D = 1 x det([[0, 5], [1, 4]]) – 2 x det([[3, 5], [-2, 4]]) + (-1) x det([[3, 0], [-2, 1]])

D = 1 x ((0 x 4) – (1 x 5)) – 2 x ((3 x 4) – (5 x (-2))) – 1 x ((3 x 1) – (0 x (-2)))

D = -47

On retrouve bien le même résultat que précédemment.

Pourquoi calculer le déterminant d’une matrice 3×3 ?

Le déterminant d’une matrice 3×3 est une valeur numérique très utile en mathématiques et en physique. Il peut être utilisé pour :

– calculer l’inverse d’une matrice ;
– résoudre des systèmes d’équations linéaires ;
– déterminer si une matrice est inversible ;
– calculer le volume d’un parallélépipède défini par les vecteurs-lignes de la matrice.

Où utilise-t-on le déterminant d’une matrice 3×3 ?

Le déterminant d’une matrice 3×3 est utilisé en mathématiques dans de nombreux domaines, tels que l’algèbre linéaire, la géométrie, l’analyse numérique, etc. Il peut également être utilisé en physique pour calculer les moments d’inertie, les coefficients de diffusion, les transformateurs linéaires, etc.

Qui utilise le déterminant d’une matrice 3×3 et comment ?

Le déterminant d’une matrice 3×3 est utilisé par des mathématiciens, des physiciens, des ingénieurs, des économistes, des informaticiens, etc. Ils utilisent cette valeur pour résoudre des problèmes mathématiques et physiques liés à leur domaine d’activité.

Exemple d’utilisation

Supposons que l’on souhaite calculer le volume d’un parallélépipède défini par les vecteurs-lignes de la matrice A utilisée précédemment :

A = [[ 1, 2, -1],
[ 3, 0, 5],
[-2, 1, 4]]

Le volume V de ce parallélépipède est donné par :

V = |det(A)|

V = |-47|

V = 47

Ainsi, le volume du parallélépipède défini par les vecteurs-lignes de la matrice A est égal à 47.

8 questions ou recherches similaires et des réponses

1. Comment trouver le déterminant d’une matrice 3×3 avec des nombres complexes ?

Le calcul du déterminant d’une matrice 3×3 avec des nombres complexes est le même que pour une matrice réelle. Il suffit d’utiliser la méthode de Sarrus ou le développement par rapport à une ligne ou à une colonne. Les seules différences sont que les opérations arithmétiques utilisées impliquent des nombres complexes et que le résultat final est également un nombre complexe.

2. Qu’est-ce que le déterminant géométrique d’une matrice 3×3 ?

Le déterminant géométrique d’une matrice 3×3 est une valeur numérique qui représente le volume du parallélépipède défini par les vecteurs-lignes de la matrice. Cette valeur est égale au déterminant absolu de la matrice, c’est-à-dire la valeur absolue du déterminant sans tenir compte de son signe.

3. Comment calculer l’inverse d’une matrice 3×3 à l’aide du déterminant ?

Pour calculer l’inverse d’une matrice 3×3, il faut utiliser la formule suivante :

A^-1 = (1 / det(A)) x adj(A)

où adj(A) est la matrice adjointe de A, c’est-à-dire la transposée de la matrice des cofacteurs de A. Pour trouver la matrice des cofacteurs de A, il faut calculer le déterminant de chacune des sous-matrices 2×2 de A et multiplier ce déterminant par une puissance de -1 selon la position de la sous-matrice dans A.

4. Comment déterminer si une matrice 3×3 est inversible ?

Une matrice 3×3 est inversible si son déterminant est non nul. Si le déterminant est nul, alors la matrice n’est pas inversible.

5. Comment calculer le déterminant d’une matrice 3×3 avec des nombres décimaux ?

Le calcul du déterminant d’une matrice 3×3 avec des nombres décimaux est le même que pour une matrice entière. Il suffit d’utiliser la méthode de Sarrus ou le développement par rapport à une ligne ou à une colonne en effectuant les opérations arithmétiques avec des nombres décimaux.

6. Comment utiliser le déterminant d’une matrice 3×3 pour résoudre un système d’équations linéaires ?

Pour résoudre un système d’équations linéaires à l’aide d’une matrice 3×3, il faut :

– écrire le système sous forme matricielle Ax = b, où A est la matrice des coefficients du système, x est le vecteur inconnu et b est le vecteur constant ;
– calculer le déterminant de la matrice A ;
– si le déterminant est non nul, alors la matrice A est inversible et le vecteur inconnu x est donné par x = A^-1 b, où A^-1 est la matrice inverse de A ;
– si le déterminant est nul, alors le système n’a pas de solution unique.

7. Comment utiliser le déterminant d’une matrice 3×3 pour calculer les moments d’inertie ?

Les moments d’inertie d’un objet sont des grandeurs physiques qui mesurent la difficulté à faire tourner cet objet autour d’un axe. Ils sont calculés à partir de la masse de l’objet et de la distribution de cette masse autour de l’axe de rotation. Pour un objet en forme de parallélépipède défini par une matrice 3×3, les moments d’inertie peuvent être calculés à l’aide du déterminant de la matrice. Par exemple, pour un cube avec des côtés de longueur l, le moment d’inertie par rapport à un axe passant par son centre est donné par (1/6) x ml^2, où m est la masse du cube et le déterminant de la matrice est égal à l^3.

8. Comment utiliser le déterminant d’une matrice 3×3 pour calculer les coefficients de diffusion ?

Les coefficients de diffusion sont des grandeurs physiques qui mesurent la rapidité avec laquelle une substance se diffuse dans une autre substance. Ils sont calculés à partir de la géométrie de la substance et des propriétés physiques des substances en jeu. Pour une substance en forme de parallélépipède défini par une matrice 3×3, les coefficients de diffusion peuvent être calculés à l’aide du déterminant de la matrice. Par exemple, pour une substance avec une forme cubique et des côtés de longueur l, le coefficient de diffusion est donné par D = (kT) / (6 pi mu l), où k est la constante de Boltzmann, T est la température absolue, mu est la viscosité et le déterminant de la matrice est égal à l^3.