Comment démontrer que 2+√2 est irrationnel

Comment démontrer que 2+√2 est irrationnel?

1. Définition de nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être représenté comme un quotient de deux entiers. En d’autres termes, un nombre irrationnel ne peut pas être écrit sous la forme a/b, où a et b sont des entiers.

2. Supposons que 2+√2 soit un nombre rationnel

Pour démontrer que 2+√2 est irrationnel, nous allons supposer le contraire et supposer que 2+√2 peut être exprimé comme un quotient de deux entiers. Nous supposons donc qu’il existe des entiers a et b tels que (2+√2) = a/b.

3. Mise en évidence de √2

Ensuite, mettons en évidence √2 de l’équation pour obtenir √2 = (a/b) – 2.

4. Élévation au carré

Élevons les deux côtés de l’équation au carré pour éliminer la racine carrée : 2 = ((a/b) – 2)^2.

5. Simplification de l’équation

Simplifions l’équation : 2 = (a^2 / b^2) – 4(a/b) + 4.

6. Multiplication pour éliminer les dénominateurs

Pour éliminer les dénominateurs, multiplions toute l’équation par b^2 : 2b^2 = a^2 – 4ab + 4b^2.

7. Restructuration de l’équation

Réorganisons l’équation pour isoler a^2 : a^2 = 2b^2 + 4ab – 2.

8. Parité

En examinant les termes de l’équation, nous pouvons voir que le terme a^2 est pair puisqu’il est égal à 2b^2 + 4ab – 2. Cela signifie que a doit également être pair, car le carré d’un nombre impair est impair et le carré d’un nombre pair est pair.

9. Parité de b

De plus, comme a est un nombre pair, nous pouvons écrire a = 2k, où k est un autre entier.

10. Substitution de a

Substituons a par 2k dans l’équation a^2 = 2b^2 + 4ab – 2 : (2k)^2 = 2b^2 + 4(2k)b – 2.

11. Simplification

Simplifions l’équation : 4k^2 = 2b^2 + 8kb – 2.

12. Simplification supplémentaire

Réorganisons l’équation pour isoler b^2 : 2b^2 = 4k^2 – 8kb + 2.

13. Parité de b (encore)

En examinant les termes de l’équation, nous pouvons voir que le terme 2b^2 est pair puisqu’il est égal à 4k^2 – 8kb + 2. Cela signifie que b doit également être pair.

14. Contradiction

Cependant, si à et b sont tous les deux pairs, ils ont un facteur commun de 2. Cela contredit notre supposition initiale selon laquelle (2+√2) peut être exprimé comme un quotient de deux entiers a et b sans facteur commun. Par conséquent, notre supposition était fausse et 2+√2 doit être irrationnel.

Le saviez-vous ?

L’irrationalité de √2

La démonstration que 2+√2 est irrationnel repose sur l’irrationalité de √2 elle-même. La preuve de l’irrationalité de √2 utilise souvent un raisonnement par l’absurde pour montrer qu’il est impossible de l’exprimer comme un quotient de deux entiers. Cette preuve est un résultat fondamental en mathématiques et a été démontrée pour la première fois par les mathématiciens grecs de l’Antiquité. Depuis lors, de nombreuses démonstrations ont été développées pour prouver l’irrationalité de √2.