On a |x–a|<|a| Comment démontrer que x≠0 et ensuite que x est du même signe que a ?

On a |x – a| < |a| : Démonstration que x ≠ 0

Pour démontrer que x ≠ 0 lorsque |x – a| < |a|, on peut utiliser une approche par l’absurde.

Supposons que x = 0. Dans ce cas, nous avons :

|0 – a| < |a|

ce qui peut être réécrit comme :

| – a| < |a|

en utilisant la propriété que | – a| = |a|.

On peut maintenant inverser l’inégalité :

|a| < |a|

Cependant, cela conduit à une contradiction, car un nombre réel ne peut pas être strictement inférieur à sa propre valeur absolue. Par conséquent, notre supposition selon laquelle x = 0 était fausse, et nous pouvons conclure que x ≠ 0.

On a |x – a| < |a| : Démonstration que x est du même signe que a

Pour démontrer que x est du même signe que a lorsque |x – a| < |a|, nous pouvons utiliser la méthode suivante :

Supposons que x ait un signe différent de a. Il y a alors trois cas possibles :

Cas 1 : x > 0 et a < 0

Dans ce cas, nous pouvons décomposer l’expression |x – a| < |a| comme suit :

x + (-a) < a

Cette inégalité implique :

x < 2a

En choisissant a < 0 suffisamment petit, nous pouvons rendre cette inégalité fausse, ce qui contredit notre hypothèse de départ. Par conséquent, ce cas n’est pas possible.

Cas 2 : x < 0 et a > 0

De manière similaire, nous pouvons décomposer l’inégalité comme suit :

(-x) + a < a

Cela implique :

-x < 0

Donc, x > 0, ce qui contredit notre supposition initiale. Par conséquent, ce cas n’est pas possible.

Cas 3 : x = 0 et a = 0

Dans ce cas, x et a ont le même signe, mais cette situation est déjà exclue car nous avons démontré précédemment que x ≠ 0.

En résumé, en examinant tous les cas possibles, nous pouvons conclure que si |x – a| < |a|, alors x a le même signe que a.

Références :

[1] : Homologie persistante des processus stochastiques et … topological spaces X.

[2] : INDRUM2020-special-issue-editorial.pdf

[3] : Grandes déviations et relations de uctuation dans certains …