Quel est le développement limité de ln(1-x) en 0 ?
Comment ?
Le développement limité de ln(1-x) en 0 peut être trouvé en utilisant la série de Maclaurin, qui est une série de fonctions utilisée pour approximer des fonctions réelles à l’aide de polynômes. La formule générale de la série de Maclaurin pour ln(1-x) est :
ln(1-x) = -x – x^2/2 – x^3/3 – x^4/4 – …
Cette série converge lorsque -1 < x ≤ 1, ce qui signifie que la série est valable pour les valeurs de x proches de 0. Puisqu'il s'agit d'un développement limité autour de 0, la série donne une bonne approximation de ln(1-x) pour x proche de 0, mais peut être moins précise pour des valeurs plus éloignées.
Pourquoi ?
La série de Maclaurin est dérivée à partir de la formule de Taylor pour approximer une fonction donnée à l’aide de ses dérivées successives en un point spécifique. Dans le cas de ln(1-x), la série de Maclaurin est utilisée car elle donne une approximation précise de la fonction pour des valeurs de x proches de 0.
Ce développement limité est utile dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, notamment pour résoudre des équations différentielles, effectuer des intégrations et analyser des comportements asymptotiques de fonctions.
Quand ?
Le développement limité de ln(1-x) en 0 a été démontré dès le 18ème siècle par le mathématicien écossais Colin Maclaurin. Depuis lors, cette série a été utilisée dans de nombreuses applications mathématiques et scientifiques.
Où ?
Le développement limité de ln(1-x) en 0 est applicable dans tous les domaines où l’approximation de la fonction ln(1-x) est nécessaire. Il peut être utilisé dans des calculs mathématiques, des modélisations statistiques, des analyses de données, des simulations numériques, etc.
Qui ?
D’autres personnes, situations et matériels qui peuvent être liés au développement limité de ln(1-x) en 0 sont :
– Colin Maclaurin, un mathématicien écossais qui a développé la série de Maclaurin.
– Les mathématiciens et les scientifiques qui utilisent le développement limité de ln(1-x) en 0 dans leurs recherches et leurs travaux.
– Les étudiants et les enseignants en mathématiques et en sciences qui étudient et enseignent le concept du développement limité.
– Les chercheurs en statistiques et en modélisation qui utilisent cette série pour résoudre des problèmes pratiques.
– Les logiciels de calcul symbolique et les bibliothèques mathématiques qui implémentent cette série pour une utilisation pratique.
Sources :
[1]: Maclaurin Series of ln(1-x)
[2]: Deceleration of China’s human water use and its key drivers
[3]: Taylor series of ln(1+x)
Note: Les sources ont été consultées le 16 juillet 2023.
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