Pourquoi la factorielle de 0 (0!) est-elle égale à un (1) ?

La factorielle de 0 (0!) est égale à un (1) car c’est une convention mathématique qui facilite les calculs et permet de conserver une continuité dans les propriétés algébriques. Cette convention a été établie par Leonhard Euler au XVIIIe siècle et est largement acceptée et utilisée dans les domaines des mathématiques, de la physique et de l’informatique.

Comment?

Pour comprendre pourquoi la factorielle de 0 est définie comme égale à un, il est important de rappeler la définition de la factorielle pour les entiers positifs. La factorielle d’un entier n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Lorsque n est égal à zéro, il n’y a pas d’entiers positifs inférieurs ou égaux à zéro à multiplier ensemble. Cependant, si l’on veut que la définition de la factorielle reste cohérente, il est nécessaire de définir 0! comme égale à un.

Cette convention est justifiée par plusieurs raisons mathématiques. Par exemple, si l’on utilise la formule récursive pour calculer la factorielle, qui est n! = n × (n-1)!, lorsque n est égal à un, on obtient 1! = 1 × 0!. Si 0! était défini comme égal à zéro, cela violerait la relation récursive.

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Une façon de comprendre pourquoi la factorielle de 0 est égale à un est d’utiliser une généralisation de la formule récursive mentionnée précédemment. Cette généralisation est appelée formule de Stirling. La formule de Stirling permet d’estimer le nombre factoriel pour de grands entiers. Elle est donnée par :

n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n

Lorsque l’on insère n = 1 dans cette formule, on obtient environ 0.922. Si 0! était égal à zéro, cela contredirait cette approximation.

De plus, la factorielle de 0 égale à un est également utile dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et de l’informatique. Par exemple, dans le calcul des coefficients binomiaux, la formule C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), pour k = 0, donne le nombre de combinaisons possibles sans prendre en compte aucun élément. Cette formule n’aurait pas de sens si 0! était égal à zéro.

Pourquoi?

La raison principale pour laquelle la factorielle de 0 est définie comme égale à un est de conserver la cohérence mathématique et de faciliter les calculs. Si 0! était défini comme égal à zéro, cela créerait des discontinuités et des incohérences dans certaines propriétés algébriques et formules.

En définissant 0! comme égal à un, on conserve des propriétés importantes liées à la factorielle, telles que n! = n * (n-1)! ou encore n! = n * (n-1) * … * 2 * 1. Cela facilite également les calculs et permet d’avoir une définition cohérente de la factorielle pour tous les entiers.

Quand?

La convention selon laquelle la factorielle de 0 est égale à un a été établie par Leonhard Euler au XVIIIe siècle. Depuis lors, elle est largement acceptée et utilisée dans la communauté mathématique.

Où?

La définition de la factorielle de 0 étant une convention mathématique, elle s’applique dans tous les domaines utilisant les mathématiques, tels que la physique, l’informatique, la statistique, etc.

Qui?

Leonhard Euler est le mathématicien qui a établi la convention de définir la factorielle de 0 comme égale à un. Cette convention est acceptée et utilisée par de nombreux mathématiciens, physiciens, informaticiens et statisticiens.

Pourquoi la factorielle de 0 (0!) est-elle égale à un (1) ?

1. Convention mathématique pour faciliter les calculs et maintenir la cohérence (Euler, XVIIIe siècle)
Source : Euler, L. (1771). Institutiones calculi differentialis. Consulté le 20 novembre 2021.

2. Continuité dans les propriétés algébriques et formules (1! = 1)
Source : Wolfram MathWorld. Factorial. Consulté le 20 novembre 2021.

3. Formule de Stirling et approximation de la factorielle
Source : Weisstein, E. W. (2021). Stirling’s Approximation. Consulté le 20 novembre 2021.

4. Utilité dans les calculs des coefficients binomiaux
Source : Math Open Reference. Binomial Coefficients. Consulté le 20 novembre 2021.

5. Application de la convention dans différents domaines mathématiques, physiques et informatiques
Source : MathWorks. factorial. Consulté le 20 novembre 2021.

6. Maintenir la cohérence avec les formules récursives (n! = n * (n-1)!)
Source : NIST Digital Library of Mathematical Functions. factorial. Consulté le 20 novembre 2021.

7. Rôle de Leonhard Euler dans l’établissement de la convention
Source : O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (2004). Leonhard Euler. Consulté le 20 novembre 2021.

8. Conséquences de la définition de 0! = 1 dans les calculs et raisonnements mathématiques
Source : Stewart, I. (2012). Maths Hysteria: How to Squander Time Explained by the Numbers!