हमारे पास |x – a| है < |ए| : प्रदर्शन कि x ≠ 0
यह सिद्ध करने के लिए कि x ≠ 0 जब |x – a| < |ए|, हम एक बेतुके दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए x = 0. इस मामले में, हमारे पास है:
|0 – ए| < |ए|
जिसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
| –ए| < |ए|
उस संपत्ति का उपयोग करना | –ए| = |ए|.
अब हम असमानता को उलट सकते हैं:
|ए| < |ए|
हालाँकि, इससे विरोधाभास पैदा होता है, क्योंकि एक वास्तविक संख्या अपने पूर्ण मूल्य से बिल्कुल कम नहीं हो सकती। इसलिए, हमारी धारणा कि x = 0 गलत थी, और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि x ≠ 0।
हमारे पास |x – a| है < |ए| : प्रदर्शन कि x का चिह्न a के समान है
यह साबित करने के लिए कि x का चिह्न a के समान है जब |x – a| < |ए|, हम निम्नलिखित विधि का उपयोग कर सकते हैं:
मान लीजिए कि x का चिह्न a से भिन्न है। तब तीन संभावित मामले हैं:
केस 1: x > 0 और a < 0
इस मामले में, हम व्यंजक |x – a| को विघटित कर सकते हैं < |ए| के रूप में निम्नानुसार :
एक्स + (-ए) <ए
इस असमानता का तात्पर्य है:
एक्स <2ए
<0 को पर्याप्त रूप से छोटा चुनकर, हम इस असमानता को गलत बना सकते हैं, जो हमारी प्रारंभिक परिकल्पना का खंडन करती है। अत: यह मामला संभव नहीं है.
केस 2: x < 0 और a > 0
इसी प्रकार, हम असमानता को इस प्रकार विघटित कर सकते हैं:
(-एक्स) + ए < ए
इसका तात्पर्य है:
-एक्स < 0
तो, x > 0, जो हमारी प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है। अत: यह मामला संभव नहीं है.
केस 3: x = 0 और a = 0
इस मामले में, x और a का चिह्न समान है, लेकिन इस स्थिति को पहले ही बाहर रखा गया है क्योंकि हमने पहले प्रदर्शित किया था कि x ≠ 0 है।
संक्षेप में, सभी संभावित मामलों को देखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि |x – a| < |a|, तो xa का चिन्ह a के समान है।
