En mathématiques, quelle est la primitive de ln(x) ?

Introduction

Lorsqu’on parle de la primitive de ln(x), on fait référence à la fonction dont la dérivée est égale à ln(x). En d’autres termes, il s’agit de trouver une fonction F(x) telle que F'(x) = ln(x).

Comment?

Pour trouver la primitive de ln(x), nous pouvons utiliser les règles d’intégration. Dans ce cas, nous pouvons utiliser la formule suivante :

Primitive de ln(x) :

∫ ln(x) dx = x(ln(x) – 1) + C

Où C est une constante d’intégration.

Voici un exemple :

∫ ln(x) dx = x(ln(x) – 1) + C

∫ ln(2) dx = 2(ln(2) – 1) + C

≈ 2(0.693 – 1) + C ≈ -0.613 + C

Pourquoi?

La formule de la primitive de ln(x) est dérivée de la règle d’intégration pour les fonctions logarithmiques. Elle est démontrée en utilisant les propriétés des logarithmes naturels et les règles d’intégration.

Quand?

Cette formule est valable pour toutes les valeurs de x supérieures à zéro. Il n’y a pas de restriction spécifique concernant l’utilisation de la primitive de ln(x).

Où?

La primitive de ln(x) peut être utilisée dans de nombreuses applications mathématiques, notamment dans le calcul des aires sous des courbes, le calcul des probabilités et dans les problèmes de croissance exponentielle.

Qui?

La formule de la primitive de ln(x) a été étudiée et utilisée par de nombreux mathématiciens au fil des années. Certains des mathématiciens connus pour leurs contributions dans ce domaine sont Isaac Newton, Jacob Bernoulli et Leonard Euler.

References:

Web source : What is so special about ln when using TeX4ht in… (consulté le 17 juillet 2023)

Web source : Wikipedia – Natural logarithm (consulté le 18 juillet 2023)

Questions et réponses similaires :

Question 1 : Qu’est-ce que le logarithme naturel et comment est-il utilisé en mathématiques ?

Réponse : Le logarithme naturel, noté ln(x), est la fonction inverse de l’exponentielle. Il est utilisé dans divers domaines des mathématiques, tels que le calcul des taux de croissance, la résolution d’équations exponentielles et la modélisation de phénomènes naturels.

Question 2 : Quelle est la dérivée de ln(x) ?

Réponse : La dérivée de ln(x) est égale à 1/x. Cela signifie que la pente de la courbe de ln(x) à un point donné est égale à l’inverse de la valeur de x à ce point.

Question 3 : Comment peut-on calculer l’intégrale de ln(x) au moyen de la méthode de substitution ?

Réponse : Pour calculer l’intégrale de ln(x) en utilisant la méthode de substitution, on pose u = ln(x), puis on dérive u par rapport à x et on résout pour dx en termes de du. Ensuite, on remplace ln(x) par u et dx par du dans l’intégrale, et on intègre par rapport à u.

Question 4 : Est-ce que la primitive de ln(x) est définie pour les valeurs de x négatives ?

Réponse : Non, la primitive de ln(x) n’est pas définie pour les valeurs de x négatives. Elle est définie uniquement pour les valeurs de x supérieures à zéro.

Question 5 : Quelle est la primitive de ln(x^2) ?

Réponse : La primitive de ln(x^2) est 2x(ln(x^2) – 1) + C.

Question 6 : Quelle est la primitive de ln(1/x) ?

Réponse : La primitive de ln(1/x) est -x(ln(1/x) – 1) + C.

Question 7 : Comment peut-on vérifier que la dérivée de la primitive de ln(x) est égale à ln(x) ?

Réponse : Pour vérifier que la dérivée de la primitive de ln(x) est égale à ln(x), on peut dériver la formule de la primitive et voir si le résultat obtenu est égal à ln(x).

Question 8 : Comment peut-on utiliser la primitive de ln(x) pour calculer des aires sous des courbes ?

Réponse : En utilisant la primitive de ln(x), on peut calculer des aires sous des courbes en intégrant la fonction ln(x) sur un intervalle donné. La valeur de l’intégrale représente l’aire sous la courbe entre les limites de l’intervalle.

Références des questions et réponses similaires :

Web source : LinkedIn Skill Assessments Quizzes with Answers (consulté le 19 juillet 2023)

Web source : CGS 3175 – Internet Applications Test 1 Study Guide on Quizlet (consulté le 19 juillet 2023)

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Formule primitive ln