Comment trouve-t-on la limite de (sin2x)/x en 0 ?

La limite de la fonction (sin2x)/x lorsque x tend vers 0 est un résultat bien connu en mathématiques. Pour trouver cette limite, nous allons utiliser les propriétés du sinus ainsi que la notion de limite.

Comment trouve-t-on la limite de (sin2x)/x en 0 ?
La limite de (sin2x)/x en 0 peut être trouvée en utilisant la règle de l’Hôpital. Pour appliquer cette règle, nous devons dériver le numérateur et le dénominateur de la fonction et prendre la limite de ces dérivées lorsque x tend vers 0.

La règle de l’Hôpital stipule que si la limite du rapport des dérivées existe lorsque x tend vers 0, alors cette limite est équivalente à la limite du rapport original.

La dérivée du numérateur (sin2x) par rapport à x est 2cos2x, et la dérivée du dénominateur (x) par rapport à x est 1. Donc, le rapport des dérivées est (2cos2x)/1 = 2cos2x.

Maintenant, nous prenons la limite de 2cos2x lorsque x tend vers 0. En utilisant les propriétés du cosinus, nous pouvons voir que cos2x = cos(2*0) = cos(0) = 1. Ainsi, la limite devient 2 * 1 = 2.

Par conséquent, la limite de (sin2x)/x lorsque x tend vers 0 est égale à 2.

Pourquoi est-ce le cas ?
Nous pouvons expliquer pourquoi la limite de (sin2x)/x en 0 est égale à 2 en utilisant les propriétés du sinus et la notion de limite.

Le sinus de 0 est égal à 0, donc le numérateur de la fonction (sin2x) est également égal à 0 lorsque x tend vers 0. Cependant, le dénominateur (x) tend également vers 0. Ainsi, nous avons une forme indéterminée de la forme 0/0.

En utilisant la règle de l’Hôpital, nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et prendre la limite du rapport des dérivées. En dérivant le numérateur, nous obtenons 2cos2x, ce qui ne tend pas vers 0 lorsque x tend vers 0. Par conséquent, la limite de la fonction n’est pas 0.

En fin de compte, le cosinus de 0 est égal à 1, donc la limite devient 2 * 1 = 2.

Quand est-ce utilisé ?
La limite de (sin2x)/x en 0 est souvent utilisée dans divers domaines des mathématiques et de la physique, tels que le calcul des dérivées, des intégrales et des séries de Fourier. Elle intervient également dans l’étude des propriétés des fonctions trigonométriques et dans la résolution de problèmes de géométrie.

Où est-ce utilisé ?
La limite de (sin2x)/x en 0 est utilisée dans diverses branches des mathématiques et des sciences. Elle trouve notamment des applications dans le calcul différentiel et intégral, l’analyse complexe, la théorie des nombres, la physique et l’ingénierie.

Qui utilise cette limite et pourquoi ?
Les mathématiciens, les physiciens, les ingénieurs et les scientifiques en général utilisent cette limite dans leurs travaux de recherche et leurs calculs. Elle est essentielle pour résoudre des problèmes mathématiques et physiques complexes, ainsi que pour comprendre les propriétés des fonctions trigonométriques et des polynômes.

Il n’y a pas de chiffres ou d’études spécifiques nécessaires pour expliquer cette limite, car il s’agit d’un résultat bien connu en mathématiques. Cependant, vous pouvez consulter des sources telles que des manuels de mathématiques avancées, des livres de calcul différentiel et intégral, ou des cours en ligne sur l’analyse mathématique pour obtenir plus d’informations et d’exemples sur cette limite.

Cependant, si vous souhaitez approfondir vos connaissances sur cette limite, voici quelques sources supplémentaires que vous pouvez consulter :

1. « Calculus » de James Stewart, 8th Edition. Consulté le 10 septembre 2021.
2. « Mathematical Analysis » de Tom M. Apostol. Consulté le 10 septembre 2021.
3. Cours en ligne sur l’analyse mathématique. Consulté le 10 septembre 2021.

Notez que les sources mentionnées ci-dessus ne sont que des suggestions et il est recommandé de consulter des sources actuelles et fiables pour obtenir les résultats les plus récents sur cette limite.