Comment prouve-t-on que 0,9 périodique=1?

La question de savoir si 0,9 périodique est égal à 1 a suscité beaucoup de débats et de controverses dans le domaine des mathématiques. Cependant, il existe plusieurs preuves mathématiques solides qui démontrent que ces deux nombres sont équivalents. Voici deux preuves couramment utilisées :

Preuve par soustraction :

Une des façons les plus simples de prouver que 0,9 périodique est égal à 1 est de le faire par soustraction. On part du fait que 0,9 périodique est un nombre décimal inférieur à 1.

Soit x = 0,9 périodique.

Multiplions maintenant les deux côtés de l’équation par 10 pour déplacer la virgule vers la droite, cela donne 10x = 9,9 périodique.

Ensuite, soustrayons l’équation de départ de l’équation multipliée par 10 :

10x – x = 9,9 périodique – 0,9 périodique.

Cela se simplifie en :

9x = 9

Puis en divisant les deux côtés de l’équation par 9 :

x = 1

Par conséquent, nous avons prouvé que 0,9 périodique est égal à 1.

Preuve par somme infinie :

Une autre preuve couramment utilisée est basée sur les séries géométriques. Cette preuve utilise la formule suivante :

S = a / (1 – r)

où S est la somme infinie d’une série géométrique, a est le premier terme et r est le rapport commun entre les termes de la série. Dans ce cas, nous considérons :

a = 0,9 et r = 1/10

En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :

S = 0,9 / (1 – 1/10) = 0,9 / (9/10) = 0,9 x 10/9 = 1

Cette formule prouve que la somme infinie de 0,9 périodique est égale à 1.

Pourquoi 0,9 périodique est-il égal à 1?

Il peut sembler contre-intuitif que 0,9 périodique soit égal à 1, car il est facile de supposer que 0,9 périodique est légèrement inférieur à 1. Cependant, les preuves mathématiques démontrent sans équivoque que ces deux nombres sont équivalents.

Une des raisons pour lesquelles cela peut sembler surprenant est que nous utilisons un système décimal pour représenter les nombres, où la valeur 1 est incommensurable avec la valeur zéro. Cela signifie qu’il n’y a pas de « trou » entre 0,9 périodique et 1. En réalité, lorsque nous utilisons un système décimal, chaque position après la virgule représente une puissance de 10 inversée.

En d’autres termes, 0,9 périodique représente la somme infinie de puissances de 10 inversées (comme 9/10, 9/100, 9/1000, etc.), qui convergent vers 1. Par conséquent, lorsque nous additionnons toutes ces puissances de 10 inversées, nous obtenons 1.

Quand est-ce que cela est utilisé?

La preuve que 0,9 périodique est égal à 1 est couramment utilisée en mathématiques pour simplifier les calculs et résoudre certains problèmes. Cette équivalence est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l’algèbre, la géométrie, la trigonométrie, le calcul et autres.

Où cela est-il applicable?

La preuve que 0,9 périodique est égal à 1 est applicable dans divers contextes mathématiques et scientifiques. Elle peut être utilisée pour démontrer des égalités mathématiques, résoudre des équations, simplifier des fractions et bien d’autres applications.

Qui a découvert cela?

Il est difficile d’attribuer la découverte de l’équivalence entre 0,9 périodique et 1 à une seule personne, car cette notion est présente depuis longtemps dans l’histoire des mathématiques. Cependant, plusieurs mathématiciens et chercheurs ont contribué à la compréhension et à la preuve de cette égalité.

Par exemple, le mathématicien allemand Georg Cantor a exploré les notions de l’infini et a montré que les nombres réels peuvent être représentés de différentes manières sans perte d’informations. De plus, d’autres mathématiciens tels que Leonhard Euler, Richard Dedekind et Karl Weierstrass ont contribué à la compréhension des séries infinies et des nombres périodiques.

En général, cette égalité est basée sur des principes mathématiques fondamentaux et a été largement acceptée et utilisée dans le domaine des mathématiques.