सम्मिश्र संख्या कब काल्पनिक होती है? शुद्ध कल्पना का तर्क क्या है?

यह कैसे दिखाया जाए कि एक सम्मिश्र संख्या पूर्णतया काल्पनिक है?

एक सम्मिश्र संख्या शुद्ध काल्पनिक कब होती है?

एक सम्मिश्र संख्या को शुद्ध काल्पनिक माना जाता है जब उसका वास्तविक भाग शून्य के बराबर हो और उसका काल्पनिक भाग गैर-शून्य हो। दूसरे शब्दों में, एक सम्मिश्र संख्या शुद्ध काल्पनिक होती है जब इसे ia के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a एक वास्तविक संख्या है और i काल्पनिक इकाई है।

उदाहरण:

सम्मिश्र संख्या 3i पूर्णतः काल्पनिक है क्योंकि इसका वास्तविक भाग शून्य के बराबर है तथा इसका काल्पनिक भाग 3 है।

शुद्ध कल्पना का तर्क क्या है?

एक सम्मिश्र संख्या का तर्क सम्मिश्र संख्या और सम्मिश्र तल में धनात्मक वास्तविक अक्ष द्वारा निर्मित कोण है। एक शुद्ध काल्पनिक संख्या के लिए, काल्पनिक भाग के चिह्न के आधार पर तर्क ±π/2 के बराबर होता है।

उदाहरण:

सम्मिश्र संख्या -2i का उदाहरण लें। इसका वास्तविक भाग शून्य के बराबर है और इसका काल्पनिक भाग -2 है। इस सम्मिश्र संख्या का तर्क π/2 है, क्योंकि यह सम्मिश्र तल में धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ 90 डिग्री का कोण बनाता है।

अन्य समान प्रश्न:

ऐसे अन्य मामले कौन से हैं जहां किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णतः काल्पनिक माना जा सकता है?

एक अन्य मामला जहां एक सम्मिश्र संख्या को शुद्ध काल्पनिक माना जा सकता है वह तब होता है जब वास्तविक भाग शून्य होता है और काल्पनिक भाग शून्य होता है। इस मामले में, सम्मिश्र संख्या केवल शून्य है, और तर्क अपरिभाषित है।

शून्य सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग के गुण क्या हैं?

शून्य सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग सदैव शून्य होता है। शून्य सम्मिश्र संख्या का तर्क भी अपरिभाषित है, क्योंकि सम्मिश्र तल में इसकी कोई दिशा नहीं होती।

गणित और व्यावहारिक विज्ञान में शुद्ध काल्पनिक संख्याओं का क्या महत्व है?

गणित और व्यावहारिक विज्ञान में उन मात्राओं को दर्शाने के लिए शुद्ध काल्पनिक संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जिनका कोई वास्तविक प्रतिनिधित्व नहीं होता है। इनका उपयोग ज्यामिति में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, विद्युत चुंबकत्व में प्रत्यावर्ती धारा घटनाओं को मॉडल करने के लिए, और भौतिकी और इंजीनियरिंग के अन्य क्षेत्रों में किया जाता है।

आप किसी दी गई सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना कैसे करते हैं?

किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करने के लिए, हम फ़ंक्शन atan2(y, x) या सूत्र θ = arctan(y/x) का उपयोग करते हैं, जहां x वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है और y सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है। यह फ़ंक्शन या सूत्र अंतराल [-π, π] में तर्क देता है।

काल्पनिक इकाई i क्या है और इसे कैसे परिभाषित किया जाता है?

काल्पनिक इकाई i को -1 के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका उपयोग किसी सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग को दर्शाने के लिए किया जाता है। काल्पनिक इकाई i को संबंध i² = -1 द्वारा परिभाषित किया गया है।

शुद्ध काल्पनिक संख्याओं के अलावा गणित में उपयोग की जाने वाली अन्य विशेष संख्याएँ क्या हैं?

शुद्ध काल्पनिक संख्याओं के अलावा, गणित में अन्य विशेष संख्याएँ भी उपयोग की जाती हैं, जैसे वास्तविक संख्याएँ, तर्कसंगत संख्याएँ, अपरिमेय संख्याएँ, पूर्णांक संख्याएँ, आदि। संख्याओं के प्रत्येक सेट में अलग-अलग गुण होते हैं और इसका उपयोग विभिन्न गणितीय और वैज्ञानिक संदर्भों में किया जाता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में जटिल संख्याओं का उपयोग कैसे किया जाता है?

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, जटिल संख्याओं का उपयोग जटिल तल में बिंदुओं को दर्शाने के लिए किया जाता है। घूर्णन, अनुवाद और स्केलिंग जैसे ज्यामितीय परिवर्तन करने के लिए जटिल संख्याओं पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसे गणितीय संचालन किए जा सकते हैं।

क्या वास्तविक दुनिया में सम्मिश्र संख्याओं का कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग है?

हाँ, सम्मिश्र संख्याओं के वास्तविक दुनिया में कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। इनका उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में वैकल्पिक विद्युत सर्किट को मॉडल करने के लिए, सिग्नल विश्लेषण के लिए सिग्नल प्रोसेसिंग में, क्वांटम भौतिकी में क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए और कई अन्य वैज्ञानिक और तकनीकी क्षेत्रों में किया जाता है।

नोट: इस लेख में दी गई जानकारी वर्तमान ज्ञान पर आधारित है और 2023 तक है। कृपया नई और अधिक विस्तृत जानकारी के लिए उल्लिखित स्रोतों से परामर्श लें।

सूत्रों का कहना है:

[1] जटिल संख्या का मापांक और तर्क - ज्ञान और जानकारी

[2] शुद्ध काल्पनिक संख्या

[3] एक सम्मिश्र संख्या से तर्क